Структура досконалих множин і сингулярних розподілів ймовірностей в Rn

Доведено, що кожна обмежена лінійна досконала множина S є об’єднанням трьох неперетинних підмножин А, В, С: перша є об’єднанням відрізків, друга і третя є ніде не щільними множинами, причому кожен окіл довільної точки множини В містить підмножину множини S ненульової міри Лебега. На основі цього факту доведено, що сингулярний розподіл випадкової величини з обмеженим мінімальним замкненим носієм (спектром) є випуклою лінійною комбінацією трьох розподілів, тополого-метричні властивості ядра спектра яких аналогічні до властивостей множин А, В, С. Отримано узагальнення цих результатів для Rn.

We prove that every bounded linear perfect set S is a union of three disjoint subsets A, B, C: A is a union of closed intervals, B and C are nowhere dense sets, and every neighbourhood of any point of the set B contains a subset of S of zero Lebesgue measure. Using this fact we prove that singular distribution of random variable with bounded minimal closed support (spectrum) is a convex linear combination of three probability distributions such that topological and metric properties of kernels of their spectra are analogous to properties of the sets A, B, C. A generalisation of these results for Rn is also obtained.