Про деякі ймовірнісні феномени, пов’язані з розподілами випадкових векторів, породжених W-зображенням

Робота присвячена висвітленню нових ймовірнісних феноменів, які отримані при спробі узагальнення на багатовимірний випадок результатів М.В.Працьовитого та Г.М.Торбіна про властивості розподілів випадкових величин типу Джессена-Вінтнера (зокрема, випадкових величин з незалежними Q- та Q*-символами). У роботах О.В.Школьного показано, що за умови виконання N-властивості для системи подрібнюючих розбиттів, більшість ймовірнісних результатів переноситься з одновимірного випадку на двовимірний із застосуванням розроблених методів. В роботі нами отримано ряд нових несподіваних результатів, які спростовують гіпотези стосовно чистоти, критеріїв дискретності двовимірних випадкових векторів типу Джессенна-Вінтнера та наявності неперервної лебегівської компоненти для таких розподілів. З цією метою вводиться поняття W-зображення точок одиничного квадрата, вивчаються основні властивості W-зображення. Основним об’єктом досліджень є випадкові вектори з незалежними символами W-зображення. Показано, що їх розподіли не є, взагалі кажучи, чистими. У роботі знайдено необхідні і достатні умови абсолютної неперервності таких розподілів та наведено приклад чисто дискретного розподілу випадкового вектора з незалежними символами W-зображення, для якого виконується умова Леві.

The paper is devoted to new probabilistic phenomena which where discovered during the process of multidimensional generalizations of results by M. Pratsiovytyi and G. Torbin on random variables of the Jessen-Wintner type (in particular, random variables with independent symbols of Q- and Q*-expansions). It has been shown by O. Shkolnyi that under the N-condition, most probabilistic results can be transferred from one-dimensional to two-dimensional case by using the same techniques. In the paper we demonstrate a series of rather unexpected results related to conjectures on probabilistic purity, necessary and sufficient conditions for the discreteness and the existence of continuous components for such distributions. To this end we introduce the W-expansion of elements from the unit square and study some basic properties of these expansions. Random vectors with independent symbols of W-expansion are main objects of our study. We show that their distributions are, generally speaking, not of pure type. Necessary and sufficient conditions for absolute continuity of such distributions are found. We also construct an example of pure discretely distributed random vectors with independentsymbols of W-expansions such that the Levy condition.