Про суперфрактальність множини суттєво анормальних чисел для факторіального розкладу

Стаття присвячена дослiдженню фрактальних властивостей розподiлiв випадкових величин з незалежними символами факторiального розкладу та застосуванню отриманих результатiв в метричнiй та розмiрнiснiй теорiї чисел. Ми доводимо, зокрема, що для майже всiх (в сенсi мiри Лебега) дiйсних чисел з одиничного вiдрiзка частота νi0 (x) довiльного символа i0 дорiвнює нулю: νi0 (x) = 0, ∀i0 ∈ {0, 1, 2, ..., k, ...} =: N0. З iншого боку, ми доводимо, що множина суттєво анормальних чисел (тобто тих дiйсних чисел, якi не мають частоти жодного символа i0 ∈ N0) для факторiальної системи числення є супер-фрактальною множиною (тобто множиною нульової мiри Лебега i максимальної (1) розмiрностi Хаусдорфа–Безиковича).

The paper is devoted to the study of fractal properties of distributions of random variables with independent symbols of factorial expansion, as well as to the applications of the obtained results to the metric and dimensional number theory. In particular, we prove that for almost all (in the sense of Lebesgue measure) real numbers from the unit interval the frequency νi0 (x) of an arbitrary digit i0 is equal to zero: νi0 (x) = 0, ∀i0 ∈ {0, 1, 2, ..., k, ...} =: N0.
On the other hand, we show that the set of essentially non-normal numbers (i.e., those real numbers which have no frequency of any symbol i0 ∈ N0) for the factorial expansion is a superfractal set (i.e., it is a set of zero Lebesgue measure and of maximal (1) Hausdorff–Besicovitch dimension).